Festkörpermechanik und Dynamik

Festkörpermechanik und Dynamik

Mechanik ist das älteste Teilgebiet der Physik, aber auch Grundlage für viele hoch aktuelle Forschungsgebiete. Mechanik ist die Lehre der Bewegung und Deformation von Körpern unter der Einwirkung von Kräften. Schon in der Antike hat dieses Thema die Wissenschaftler aus ganz praktischen Gründen beschäftigt und fasziniert: es mussten schwere Lasten gehoben und transportiert werden, Bauwerke wurden errichtet, Kriegsgerät entworfen. Die klassische Mechanik, die auch heute gelehrt wird, beruht auf den drei Newtonschen Gesetzen, die das Trägheitsprinzip, den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Kraft bzw. die Wirkung von Kraft und Gegenkraft beschreiben. Die Entwicklung der Mechanik war immer eng an Weiterentwicklungen in der Mathematik geknüpft, z.B. an die Integral- oder Differentialrechnung, die Vektorrechnung oder die Variationsrechnung.

Insbesondere die Entwicklung numerischer Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen und die rasante Verbesserung der Rechenleistung von Computern haben ganz neue Anwendungsfelder für die numerische Mechanik erschlossen. Heute sind mechanische Simulationen im industriellen Entwicklungs- und Produktionsprozess unersetzbar: das Crash-Verhalten ganzer Autos wird ebenso am Computer simuliert, wie das Laserschweißen von Rohren oder die Entstehung von Mikrorissen in Verbundwerkstoffen. Durch die ständige Weiterentwicklung von Materialien und immer höhere Anforderungen an Bauteile und Strukturen, gibt es auch ständig neue Herausforderungen in der numerischen Mechanik, zum Beispiel die Entwicklung von problemspezifischen numerischen Verfahren und Algorithmen oder die Entwicklung von mathematischen Modellen zur Beschreibung komplexen Materialverhaltens. Dazu werden sowohl fundierte Kenntnisse in den Grundlagen der Mechanik und Mathematik benötigt, als auch das Wissen, die entstandenen Modelle numerisch umzusetzen. Aus diesem Grund ist das TAF Mechanik und Dynamik entstanden: wir sind überzeugt, dass Sie als CE-Studenten die besten Voraussetzungen und Vorkenntnisse mitbringen, um im Bereich der numerischen Mechanik erfolgreich mitzuarbeiten. Im Bachelor Studium lernen Sie zunächst, zusammen mit den Studenten des Maschinenbaus, die Grundlagen der Mechanik: Statik, Elastostatik und Dynamik starrer Körper. Weiterhin lernen Sie die Grundlagen einer wichtigen numerischen Methode im Ingenieurbereich, der Finiten Element Methode, kennen. Ergänzt wird das Angebot durch Vorlesungen in Strömungsmechanik oder Schwingungslehre. Im Master Studium werden vertiefende Vorlesungen insbesondere zur numerischen Mechanik (Nichtlineare Finite Elemente Methode, Materialmodellierung und –simulation) und zur Kontinuumsmechanik angeboten. Ergänzend finden Vorlesungen zu einzelnen Teilgebieten der Mechanik statt (Biomechanik, Bruchmechanik, Schädigungsmechanik,…). Die späteren Tätigkeitsfelder für Absolventen mit einem breiten Grundlagenwissen in Mechanik sind vielfältig: Maschinenbau, Kraftfahrzeugtechnik, Luft- und Raumfahrt, Umwelttechnik, Verfahrenstechnik, Bauwesen, Medizintechnik, Werkstoff- und Materialtechnik,…

Inhalt des Bachelor-Studiengangs

Statik, Elastostatik und Festigkeitslehre/Dynamik starrer Körper

Das Modul Statik, Elastostatik und Festigkeitslehre beschäftigt sich mit der Statik starrer Körper (Stereostatik) und der Statik elastisch verformbarer Körper (Elastostatik). Hierbei wird zunächst die Kraftübertragung in elementaren Tragwerken untersucht und die daraus resultierenden Beanspruchungen als Schnittgrößen eingeführt. Nach der Behandlung wichtiger Flächencharakteristika (Schwerpunkt und Trägheitsmomente) folgt die Betrachtung von Reibungseffekten. Die Elastostatik beginnt mit der Beschreibung lokaler Beanspruchungen und Verformungen mit Hilfe des Spannungs- und Verzerrungsbegriffs. Sie beschäftigt sich weiterhin mit der Statik elastisch deformierbarer Körper. Aufbauend auf dem Spannungs- und Verzerrungsbegriff wird dann eine elementare Theorie der Beanspruchung und der Deformation von balkenförmigen Tragwerken infolge Zug, Torsion und Biegung betrachtet. Die Elastostatik schließt mit der Einführung grundlegender Energiemethoden. In dem Modul Dynamik starrer Körper wird die Kinematik und Kinetik von Massenpunkten, Massenpunktsystemen und starren Körpern behandelt. Ausgehend vom Impuls- und Drehimpulssatz werden die ersten Integrale hergeleitet und diskutiert. Den Abschluss bildet eine Einführung in die Theorie der Schwingungen mit einem Freiheitsgrad.

Technische Schwingungslehre/Mehrkörperdynamik

Das Modul “Technische Schwingungslehre” beschäftigt sich mit technisch relevanten, mechanischen Schwingungsproblemen. Hierzu müssen basierend auf einer geeigneten physikalisch/mathematischen Modellbildung zunächst die Bewegungsgleichungen aufgestellt werden; es werden hier insbesondere diskrete Systeme mit einem oder mehreren Freiheitsgraden behandelt. Die Lösung dieser Gleichungen erlaubt dann die Analyse und Bewertung schwingungsfähiger technischer Systeme. Das Modul Mehrkörperdynamik erweitert diese Betrachtungen auf den Fall von Mehrkörpersystemen.

Finite Element Methode

In dem Modul FEM soll die theoretische Grundlage und darauf aufbauend die numerische Umsetzung der FEM erarbeitet werden. Hierzu wird zunächst ein eindimensionales Modellproblem betrachtet, an dem die prinzipielle Vorgehensweise sowie wesentliche Eigenschaften der Methode verhältnismäßig einfach und übersichtlich dargestellt werden können. Ausgehend von der Problem beschreibenden Differentialgleichung wird die, für die Methode charakteristische, integrale Beschreibung des Randwertproblems im Rahmen der Variationsrechnung abgeleitet. Hierbei werden zentrale Begriffe wie schwache Form des Randwertproblems, Testfunktionen, Ansatzfunktionen, Kontinuitätsanforderungen, Gebiets-Diskretisierung, Galerkin Approximation, Steifigkeitsmatrix, Inzidenzmatrizen, numerische Integration und Genauigkeit der Finite Elemente Approximation erörtert. Nach der ausführlichen Behandlung des eindimensionalen Modellproblems, erfolgt dann die Verallgemeinerung der Methode auf mehrdimensionale, insbesondere ebene Probleme. Hier wird das Randwertproblem durch partielle Differentialgleichungen beschrieben, die analog zum eindimensionalen Fall in eine äquivalente integrale Darstellung (schwache Form) überführt werden können. Das Ziel der Veranstaltung im Hinblick auf die selbständige numerische Umsetzung besteht darin, eine isoparametrische Finite Element Familie für den ebenen Fall im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie zu implementieren und die zuvor erarbeiteten Approximationseigenschaften der Methode zu verifizieren.

Inhalt des Master-Studiengangs

Continuum Mechanics I

Die Kontinuumsmechanik stellt die Grundlage zur Lösung von vielen mechanischen Ingenieurproblemen wie beispielsweise der Verknüpfung von Beanspruchung und Verformung von Konstruktionselementen dar. Die Vorlesung behandelt daher zentrale Aspekte der geometrisch linearen Kontinuumsmechanik in einer modernen, auf dem Tensorkalkül basierenden Darstellung. Dabei baut die Vorlesung Kontinuumsmechanik einerseits direkt auf den Vorlesungen zur Technischen Mechanik des Grundstudiums auf und versteht sich andererseits als geeignete Ergänzung für die Vorlesung Lineare Finite Element Methode.

Continuum Mechanics II

Die nichtlineare Kontinuumsmechanik stellt die Grundlage zur Lösung von vielen mechanischen Ingenieurproblemen wie beispielsweise dem Beulen und Versagen von Konstruktionselementen dar. Die Vorlesung behandelt daher zentrale Aspekte der geometrisch nichtlinearen Kontinuumsmechanik in einer modernen, auf dem Tensorkalkül basierenden Darstellung. Dabei baut die Vorlesung Nichtlineare Kontinuumsmechanik einerseits direkt auf der Vorlesung Kontinuumsmechanik auf und versteht sich andererseits als geeignete Vorbereitung für die Vorlesung Nichtlineare Finite Element Methode.

Nichtlineare Finite-Elemente-Methode

Aufbauend auf der Vorlesung Lineare Finite Element Methode sollen in der Vorlesung Nichtlineare Finite Elemente nichtlineare Methoden behandelt werden. Hierzu werden zunächst die Grundlagen der nichtlinearen Kontinuumsmechanik betrachtet. Am darin enthaltenen Spezialfall des geometrisch nichtlinearen Stabes werden dann zentrale Begriffe wie Linearisierung, Finite Element Diskretisierung, geometrischer und materieller Anteil der tangentialen Steifigkeitsmatrix und die iterative Lösung im Rahmen des Newton-Raphson Verfahrens behandelt. Analog zur Vorlesung Lineare Finite Element Methode soll die numerische Umsetzung im Rahmen von MATLAB erfolgen. Weiterhin werden Stabilitätsuntersuchungen von Stab-Strukturen sowie geeignete numerische Lösungsverfahren, wie beispielsweise das Bogenlängenverfahren, behandelt. Nach der ausführlichen Betrachtung der eindimensionalen Stabelemente erfolgt dann die Verallgemeinerung der Methode auf Kontinuumselemente im Rahmen der nichtlinearen Kontinuumsmechanik. Das Ziel besteht darin, die zuvor in der Vorlesung Lineare FEM im Rahmen der linearen Theorie eingeführten und implementierten isoparametrischen Dreiecks- und Viereckselemente auf die nichtlineare Theorie zu erweitern.

Computational Dynamics

Die Vorlesung beschäftigt sich mit der Herleitung der Bewegungsgleichungen aus den Prinzipien der Mechanik. Hierbei wird besonders auf das Hamiltonsche Prinzip der kleinsten Wirkung eingegangen, das zu den Lagrange’schen Bewegungsgleichungen führt. Am Beispiel räumlich diskreter mechanischer Systeme (z.B. Massenpunktsysteme, starre Körper oder FE-diskretisierte elastische Körper) werden verschiedene Zeitintegrationsverfahren behandelt und ihre Erhaltungseigenschaften analysiert.

Computational Plasticity

Die Plastomechanik stellt die Grundlage zur Lösung von vielen mechanischen Ingenieurproblemen wie beispielsweise der Ausbildung von Fließzonen und -gelenken in Konstruktionselementen dar. Die Vorlesung behandelt daher zentrale Aspekte der Plastomechanik, d.h. die Modellierung des plastischen Materialverhaltens und geeignete algorithmische Umsetzungen. Dabei baut die Vorlesung Plastomechanik einerseits direkt auf den Vorlesungen zur Technischen Mechanik des Grundstudiums auf und versteht sich andererseits als geeignete Fortsetzung der Vorlesung Kontinuumsmechanik.

Bionechanics

In den vergangenen Jahren war die Forschungstätigkeit im Bereich der Numerischen und der Kontinuumsmechanik stark durch biomechanische Problemstellungen geprägt. Mit der numerischen Simulation von Blutfluss in Adern, der Adaption von Knochenstrukturen sowie der Modellierung von Gewebestoffen seien nur einige Anwendungsgebiete genannt. Eine numerische Umsetzung geeigneter phänomenologischer Modelle z.B. im Rahmen der Finite Element Methode ermöglicht weiterführende Erkenntnisse über die biologischen Prozesse und soll in Zukunft detaillierte medizinische Untersuchungen ergänzen oder gegebenenfalls ganz ersetzen. Diese Vorlesung bietet eine Übersicht über die numerische/kontinuumsmechanische Behandlung biomechanischer Probleme und diskutiert deren numerische Umsetzung anhand ausgewählter Teilaspekte.

Studienfachberater

Prof. Dr.-Ing. Julia Mergheim

Addresse: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Lehrstuhl für Technische Mechanik (LTM)
Egerlandstraße 5
91058 Erlangen
Telefon: +49 9131 85 28505
Fax: +49 9131 85 28503
E-Mail: julia.mergheim[at]ltm.uni-erlangen.de
Raum 0.040